Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité
Les nombres complexes
Exercice 1 : Résoudre une équation du troisième degré dans C avec une solution réelle évidente.
On considère le polynôme \(P(z) = z^{3} -8z^{2} + 54z + 148\).
Déterminer une solution réelle de \(P(z) = 0\).
Factoriser \(P(z)\).
Donner l'ensemble des solutions de \(P(z) = 0\).
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \(\{-i; i\}\)
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \(\{-i; i\}\)
Exercice 2 : Forme exponentielle du quotient de deux complexes sous forme exponentielle
Soient \(z_1 = 7e^{\dfrac{1}{2}\pi i} \) et \(z_2 = 2e^{\dfrac{1}{6}\pi i} \), donner \(\frac{z_1}{z_2}\) sous forme exponentielle.
Exercice 3 : Trouver l'affixe d'un point par une transformation complexe (avec conjugué)
Soit le point \(A\) ayant pour affixe \(z_A = -3 -6i\).
Soit \(f\) la transformation du plan qui à tout point \(M\) d’affixe \(z \ne 1\) , associe le point \(M^\prime\)
d'affixe \(z^\prime = \frac{1 - z}{\overline{z}-1}\).
Soit \(A'\) l'image de \(A\) par \(f\).
On donnera directement la valeur de l'affixe sans écrire \( z_A = \).
Exercice 4 : Forme exponentielle de a*z avec a un entier et z sous forme trigonemétrique
Soit \[ z = 8\left(\operatorname{cos}{\left (\dfrac{1}{6}\pi \right )} + i\operatorname{sin}{\left (\dfrac{1}{6}\pi \right )}\right) \]
Donnez la forme exponentielle de \( 5z \).
Exercice 5 : Angle vecteurs
Soit les vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ayant pour affixe respectivement \(z_\overrightarrow{BA}= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i\sqrt{3}\) et \(z_\overrightarrow{BC} = - \dfrac{5}{2}\sqrt{2} - \dfrac{5}{2}i\sqrt{2}\).
Donner la mesure principale de l'angle \((\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})\)